Question

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數h（x）=lnx，又函數f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調區(qū)間；  
（II）當a≤

1

2

時，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（4，2）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當x1=

3

2

時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）由2^R（-x）-2^R（x）=0，知R（-x）=R（x），故R（x）=ax²+c．所以R(x)=ax2.令f′（x）=0，得x=

2a

2a

．由此能求出f（x）的單調區(qū)間．
（II）由當0＜a≤

1

2

時，

2a

2a

≥1，知x₀∈[1，3]時，f（x₀）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．由此能求出f（x₀）的最小值．
（III）若二次函數R（x）=ax²圖象過（4，2）點，則a=

1

8

，所以f(x)=lnx-

1

8

x2．由此能導出函數f（x）圖象上存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．

解答：解：（I）∵定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，
∴2^R（-x）-2^R（x）=0，
∴2^R（-x）=2^R（x），即R（-x）=R（x），
∵R（x）=ax²+bx+c，∴b=0，∴R（x）=ax²+c．
∵R（x）=ax²+c的最小值為0，∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，
∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）-R（x），
∴f（x）=lnx-ax²，f′(x)=

1

x

-2ax，
令f′（x）=0，解得x=

2a

2a

．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0， 2a 2a ）	2a 2a	（ 2a 2a ，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

所以，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，

2a

2a

），
f（x）的單調遞減區(qū)間是（

2a

2a

，+∞）．
（II）∵當0＜a≤

1

2

時，

2a

2a

≥1，
∴x₀∈[1，3]時，f（x₀）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．
又f（1）=-a，f（3）=1n3-9a，
f（1）-f（3）=-a-（ln3-9a）=8a-1n3．
∴當0＜a≤

ln3

8

時，f（1）≤f（3），f（x₀）的最小值-a；
當

ln3

8

＜a≤ 

1

2

時，f（1）＞f（3），f（x₀）的最小值ln3-9a．
（III）證明：若二次函數R（x）=ax²圖象過（4，2）點，則a=

1

8

，
所以f(x)=lnx-

1

8

x2．
令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．
由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，
故f(2)＞f(

3

2

)，即g（2）＞0．
取x′=

3

2

e＞2，則g(x′)=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x2∈(2，x′)，使g（x₂）=0，
故存在x₂∈（2，+∞），使f(x2)=f(

3

2

)．
所以函數f（x）圖象上存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．

點評：本題考查求f（x）的單調區(qū)間，求f（x₀）的最小值，探索函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．