Question

已知命題p：不等式 ︳x ︳+︳x-1 ︳＞m  對(duì)全體實(shí)數(shù)都成立；命題q；不等式  x²+2mx+4＜0  的解集是空集，若 p且q為假，非q為假，求m 的取值范圍．

Answer 1

分析：利用分類討論的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)即可得出命題p中的m的取值范圍，再利用判別式與一元二次不等式的解集的關(guān)系即可得到命題q中的m的取值范圍．利用“且”“非”命題即可判斷命題p、q的真假，從而得出m的取值范圍．

解答：解：∵命題p：不等式 ︳x ︳+︳x-1 ︳＞m  對(duì)全體實(shí)數(shù)都成立，∴m＜（|x|+|x-1|）_min．
令f（x）=|x|+|x-1|=

2x-1，當(dāng)x＞1時(shí) 1，當(dāng)0≤x≤1時(shí) -2x+1，當(dāng)x＜0時(shí)

，
①當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x-1＞f（1）=1；
②當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）≡1；
③當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞f（0）=1．
綜上可知：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）取得最小值1．
∴m＜1．
命題q；不等式  x²+2mx+4＜0  的解集是空集，∴△=4m²-16≤0，解得-2≤m≤2．
又若 p且q為假，非q為假，∴q為真，p為假．
∴m必滿足

m≥1 -2≤m≤2

，解得1≤m≤2．
∴m 的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握絕對(duì)值不等式的解法、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、“且”“非”命題的真假判斷方法是解題的關(guān)鍵．