Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是線(xiàn)段AD₁和B₁C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AP=B₁Q，則下列命題正確的是

 

（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在P、Q的某一位置，使AB∥PQ；
②△BPQ的面積為定值；
③當(dāng)PA＞0時(shí)，直線(xiàn)PB₁與AQ是異面直線(xiàn)；
④無(wú)論P(yáng)、Q運(yùn)動(dòng)到任一位置，均有BC⊥PQ；
⑤P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成區(qū)域的面積為

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①P、Q分別為AD₁和B₁C的中點(diǎn)時(shí)，AB∥PQ，可判斷①；
②當(dāng)P在A處時(shí)，△BPQ的面積為

1

2

，當(dāng)P在AD₁中點(diǎn)時(shí)，△BPQ的面積為

2

4

，可判斷②；
③當(dāng)PA＞0時(shí)，假設(shè)直線(xiàn)PB₁與AQ是共面直線(xiàn)，則AP與B₁Q共面，可導(dǎo)出矛盾，可判斷③；
④依題意，利用三垂線(xiàn)定理可得BC⊥PQ，可判斷④；
⑤P點(diǎn)在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段BC₁，設(shè)B₁C∩BC₁=O，線(xiàn)段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成的區(qū)域?yàn)椤鰾₁OB和△C₁OC，可求得其面積，可判斷⑤．

解答： 解：①，P、Q分別為AD₁和B₁C的中點(diǎn)時(shí)，AB∥PQ，故①正確；
②，P在A處時(shí)，△BPQ的面積為

1

2

，P在AD₁中點(diǎn)時(shí)，△BPQ的面積為

2

4

，面積不是定值，故②錯(cuò)誤；
③，當(dāng)PA＞0時(shí)，假設(shè)直線(xiàn)PB₁與AQ是共面直線(xiàn)，則AP與B₁Q共面，矛盾，所以直線(xiàn)PB₁與AQ是異面直線(xiàn)，故③正確；
④，BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線(xiàn)定理得BC⊥PQ，故④正確；
⑤，P點(diǎn)在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段BC₁，設(shè)B₁C∩BC₁=O，則線(xiàn)段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成的區(qū)域?yàn)椤鰾₁OB和△C₁OC，故面積為

1

2

，故⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間線(xiàn)面之間的位置關(guān)系的判斷，考查射影定理的應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力，是難題．