已知橢圓C焦點在x軸上,其長軸長為4,離心率為
3
2
,
(1)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)如圖,過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設(shè)原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.
(1)∵橢圓C焦點在x軸上,其長軸長為4,離心率為
3
2

2a=4
c
a
=
3
2
.解得a=2,b=1,∴
x2
4
+y2=1

顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).(5分)
x2
4
+y2=1
y=kx+2
得(1+4k2)x2+16kx+12=0.∵△=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,
k∈(-∞,-
3
2
)∪(
3
2
,+∞)

x1+x2=
-16k
1+4k2
 ,x1x2=
12
1+4k2

0°<∠AOB<90°?
OA
OB
>0
.∴
OA
OB
=x1x2+y1y2>0

所以
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=
12(1+k2)
1+4k2
+2k
-16k
1+4k2
+4>0
∴-2<k<2.
由此得:k∈(-2,-
3
2
)∪(
3
2
,2)

(2)由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形,原點O到各邊的距離相等.
當(dāng)P在y軸上,Q在x軸上時,直線PQ的方程為
x
a
+
y
b 
=1
,由d=1得
1
a2
+
1
b2
=1

當(dāng)P不在y軸上時,設(shè)直線PS的斜率為k,P(x1,kx1),則直線RQ的斜率為-
1
k
Q(x2,-
1
k
x2)

y=kx
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得
1
x12
=
1
a2
+
k2
b2
(1),同理
1
x22
=
1
a2
+
1
k2b2

在Rt△OPQ中,由
1
2
d•|PQ|=
1
2
|OP|•|OQ|
,即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2
所以(x1-x2)2+(kx1+
x2
k
)2=[x12+(kx1)2]•[x22+(
x2
k
)2]
,化簡得
k2
x22
+
1
x12
=1+k2
,
k2(
1
a2
+
1
k2b2
)+
1
a2
+
k2
b2
=1+k2
,
1
a2
+
1
b2
=1

綜上,d=1時a,b滿足條件
1
a2
+
1
b2
=1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C焦點在x軸上,其長軸長為4,離心率為
3
2
,
(1)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)如圖,過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設(shè)原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

注意:第(3)小題平行班學(xué)生不必做,特保班學(xué)生必須做.
已知橢圓的焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點,離心率e=
2
5
,過橢圓的右焦點F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l,交橢圓于A、B兩點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點M(m,0)是線段OF上的一個動點,且(
MA
+
MB
)⊥
AB
,求m的取值范圍;
(3)設(shè)點C是點A關(guān)于x軸的對稱點,在x軸上是否存在一個定點N,使得C、B、N三點共線?若存在,求出定點N的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的焦點在x軸上,其右頂點關(guān)于直線x-y+4=0的對稱點在直線: 上.

(I)求橢圓方程;

(II)過橢圓左焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,交直線于點C,設(shè)O為坐標(biāo)原點,且,求的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省寧波市鄞州高級中學(xué)高三(下)第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C焦點在x軸上,其長軸長為4,離心率為,
(1)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)如圖,過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設(shè)原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

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