Question

3．拋物線C：y²=4x的交點為F，準(zhǔn)線為l，p為拋物線C上一點，且P在第一象限，PM⊥l交C于點M，線段MF為拋物線C交于點N，若PF的斜率為$\frac{3}{4}$，則$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐標(biāo)，可得cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得到$\frac{|MN|}{|NF|}$．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，
∵PF的斜率為$\frac{3}{4}$，∴可得P（4，4）．
∴M（-1，4），∴cos∠MFO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．