Question

已知直線x+y+m=0與圓x²+y²=4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，

|OA

+

OB

|≥|

AB

|，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、[-2，2]
• B、[2，2

  2

  )∪(-2

  2

  ，-2]
• C、(-2

  2

  ，-2]
• D、[2，2

  2

  )

Answer 1

考點(diǎn)：兩向量的和或差的模的最值

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)AB線段的中點(diǎn)為C，可得2|

OC

|≥|

AB

|，可得

2

≤OC＜2，利用圓心到直線的距離公式列出關(guān)于m的不等關(guān)系，求解即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵直線x+y+m=0與圓x²+y²=4交于不同的兩點(diǎn)A，B，
故AB為圓的一條弦，且圓心O（0，0），半徑r=2，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得

OA

+

OB

=2

OC

，
∴

|OA

+

OB

|≥|

AB

|，即為2|

OC

|≥|

AB

|，即|

OC

|≥

1

2

|

AB

|=AC，
根據(jù)圓中弦的性質(zhì)，則△OAC為直角三角形，
∴在Rt△OAC中，OA=r=2，OC≥AC，
∴

2

≤OC＜2，
∵OC為點(diǎn)O到直線x+y+m=0的距離，
故OC=

|0+0+m|

12+12

=

|m|

2

，
∴

2

≤

|m|

2

＜2，即

|m|＜2 2 |m|≥2

，解得m∈（-2

2

，-2]∪[2，2

2

），
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2

2

，-2]∪[2，2

2

）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，絕對(duì)值不等式的解法，向量的和與向量的模．本題解題的關(guān)鍵是將|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，轉(zhuǎn)化為

2

≤|

OC

|＜2．屬于中檔題．