(04年上海卷文)(18分)
設(shè)P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲線C上的點, 且a1=2, a2=2, …, an=2構(gòu)成了一個公差為d(d≠0) 的等差數(shù)列, 其中O是坐標原點. 記Sn=a1+a2+…+an.
(1) 若C的方程為-y2=1,n=3. 點P1(3,0) 及S3=162, 求點P3的坐標;
(只需寫出一個)
(2) 若C的方程為y2=2px(p≠0). 點P1(0,0), 對于給定的自然數(shù)n, 證明:
(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2成等差數(shù)列;
(3) 若C的方程為(a>b>0). 點P1(a,0), 對于給定的自然數(shù)n, 當公差d變化時, 求Sn的最小值.
解析:(1) a1=2=9,由S3=(a1+a3)=162,得a3=3=99.
由 | -y2=1 | ,得 | x=90 |
x+y=99 | y=9 |
∴點P3的坐標可以為(3,3).
(2)對每個自然數(shù)k,1≤k≤n,由題意2=(k-1)d,及
y=2pxk | ,得x+2pxk=(k-1)d |
x+y=(k-1)d |
即(xk+p)2=p2+(k-1)d,
∴(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2是首項為p2,公差為d的等差數(shù)列.
(3) 【解法一】原點O到二次曲線C:(a>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為a.
∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=2=a2+(n-1)d≥b2,
∴≤d<0. ∵n≥3,>0
∴Sn=na2+d在[,0)上遞增,
故Sn的最小值為na2+?=.
【解法二】對每個自然數(shù)k(2≤k≤n),
由 | x+y=a2+(k-1)d | ,解得y= |
+=1 |
∵0< y≤b2,得≤d<0
∴≤d<0
以下與解法一相同.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(04年上海卷文)(本題滿分14分) 第1小題滿分6分, 第2小題滿分8分
如圖, 直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點.
(1) 求點Q的坐標;
(2) 當P為拋物線上位于線段AB下方
(含A、B) 的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(04年上海卷文)若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=lg(x+1)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱,則f(x)=( )
(A)10x-1. (B) 1-10x. (C) 1-10-x. (D) 10-x-1.
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