Question

12．如圖，莖葉圖記錄了某城市甲、乙兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)連續(xù)三天觀測(cè)到的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）．乙觀測(cè)點(diǎn)記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊無(wú)法確認(rèn)，已知該數(shù)是0，1，…，9中隨機(jī)的一個(gè)數(shù)，并在圖中以a表示．
（Ⅰ）求乙觀測(cè)點(diǎn)記錄的AQI的平均值超過(guò)甲觀測(cè)點(diǎn)記錄的AQI的平均值的概率；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)記錄的數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一天的觀測(cè)值，記這兩觀測(cè)值之差的絕對(duì)值為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平均數(shù)的計(jì)算方法，可求a的值；
（Ⅱ）確定甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)記錄的數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值X的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得：$\frac{1}{3}$（88+92+92）=$\frac{1}{3}$[90+91+（90+a）]，
解得 a=1． …（3分）
（Ⅱ）解：當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有3×3=9種，它們是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92），
則這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值X的所有取值為0，1，2，3，4，
因此P（X=0）=$\frac{2}{9}$，P（X=1）=$\frac{2}{9}$，P（X=2）=$\frac{1}{3}$，P（X=3）=$\frac{1}{9}$，P（X=4）=$\frac{1}{9}$．…（10分）
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$

所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{9}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{5}{3}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以莖葉圖為載體，考查古典概型概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望，正確求概率是關(guān)鍵．