Question

8．設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．求：
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求圓C的方程（用含b的方程表示）
（3）問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0及y=0，△＞0即可得出；
（2）設(shè)出圓的一般方程與（1）比較即可得出；
（3）把圓C的方程改寫為x²+y²+x-y-b（y-1）=0，即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令x=0，得二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)是（0，b）
因?yàn)槎�次函�?shù)二次項(xiàng)系數(shù)為1，由二次函數(shù)性質(zhì)得二次函數(shù)f（x）=x²+x+b（x∈R）的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
令f（x）=x²+x+b=0，由題意b≠0 且△＞0，解得b＜$\frac{1}{4}$且b≠0．
（2）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0得，x²+Dx+F=0，由題意可得，這與x²+x+b=0是同一個(gè)方程，故D=1，F(xiàn)=b．
令x=0得，y²+Ey+F=0，由題意可得，此方程有一個(gè)根為b且b≠0，代入得出E=-b-1，
所以圓C的一般方程為x²+y²+x-（b+1）y+b=0．．
（3）圓C：x²+y²+x-（b+1）y+b=0方程為x²+y²+x-y-b（y-1）=0
則圓C必過定點(diǎn)（0，1）和（-1，1）．
證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊=0²+1²+0-（b+1）+b=0，右邊=0，
所以圓C 必定點(diǎn)（0，1）．
同理可證圓C 必過定點(diǎn)（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的方程，考查圓系知識(shí)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．