Question

底面是正方形的四棱錐A-BCDE中，AE⊥底面BCDE，且AE=CD=a，G、H分別是BE、ED的中點，則GH到平面ABD的距離是

3

6

a

．

Answer 1

分析：連接BD，設(shè)點E到平面ABD的距離為h，利用V_A-EBD=V_E-ABD求出E到平面ABD的距離，然后求出GH到平面ABD的距離．

解答：解：連接BD，設(shè)點E到平面PBD的距離為h，
則由AE⊥底面BCDE，且AE=CD=a，∴△ABD是邊長為

2

a的正三角形，
而由VA-EBD=VE-ABD得

1

3

×S△EBD×EA=

1

3

×S△ABD×h，
即S_△ABD×h=S_△EBD×EA．
又S△ABD=

1

2

×AB2sin60°=

3 a2

2

，S△EBD=

1

2

a2，
∴

3 a2

2

×h=

a2

2

×a，h=

3

3

a
故點E到平面ABD的距離為

3

3

a．
因為G、H分別是BE、ED的中點，所以GH∥BD，
GH到平面ABD的距離是點E到平面ABD的距離的一半，即

3

6

a．
故答案為：

3

3

a．

點評：本題主要考查直線到平面的距離，以及三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．