Question

18．已知奇函數f（x）的定義域為R，且f（1-x）=f（1+x），當-2＜x≤-1時，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（2+x），則函數y=2f（x）-1在（0，8）內的所有零點之和為12．

Answer 1

分析 求出f（x）的對稱軸和周期，做出f（x）的函數圖象，根據函數的對稱性得出答案．

解答 解：∵f（x）是奇函數，f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），
f（x+3）=f（-1-x）=-f（x+1），
∴f（x-1）=f（x+3），
∴f（x）的周期為4，
又f（1-x）=f（1+x），f（x）是奇函數，
∴f（x）關于直線x=1對稱，f（x）根與原點對稱，
做出f（x）的函數圖象如圖所示：

令y=2f（x）-1=0得f（x）=$\frac{1}{2}$，
由圖象可知f（x）=$\frac{1}{2}$共有4個解，分別關于x=1和x=5對稱，
設4個解分別為x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂=2，x₃+x₄=10，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=12．
故答案為12．

點評 本題考查了函數周期性和對稱性的應用，屬于中檔題．