Question

如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2
（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大小；
（3）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的定義，根據(jù)PA⊥平面ABC得PA⊥BC，結(jié)合AB⊥BC得BC⊥平面PAB，從而得出AE⊥BC，結(jié)合AE⊥PB證出AE⊥平面PBC，最后根據(jù)面面垂直判定定理，即可證出平面AEF⊥平面PBC；
（2）由（1）的結(jié)論得BC⊥AB且BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，Rt△PAB中算出∠PBA=45°，即可得到二面角P-BC-A的大小；
（3）由PA⊥平面ABC，得PA是三棱錐P-AEF的高，算出△ABC的面積再利用錐體的體積公式加以計算，即可得到三棱錐P-AEF的體積．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，
∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC；
（2）∵BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
結(jié)合AB⊥BC，可得∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵Rt△PAB中，PA=AB=2，∴∠PBA=45°，
由此可得二面角P-BC-A的大小為45°；
（3）∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴△ABC的面積S=

1

2

×AB×BC=2，
∵PA⊥平面ABC，即PA是三棱錐P-AEF的高，
∴三棱錐P-AEF的體積V=

1

3

×S_△ABC×PA=

1

3

×2×2=

4

3

．

點評：本題在特殊三棱錐中證明面面垂直，并求二面角的大小和錐體的體積．著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明和錐體的體積計算等知識，屬于中檔題．