Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-m|．
（1）當m=6時，解不等式f（x）≥12；
（2）已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{ab}$，若對于?a，b∈R^*，?x₀使f（x₀）≤ab成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，分類討論，即可解不等式；
（2）求出ab≥2，f（x）_min，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）當m=6時，|x+2|+|x-6|≥12，
x＜-2時，不等式化為-x-2-x+6≥12，∴x≤-4，此時x≤-4；
-2＜x＜6時，不等式化為x+2-x+6≥12，無解；
x≥6時，不等式化為x+2+x-6≥12，∴x≥8，此時x≥8；
綜上所述，不等式的解集為{x|x≤-4或x≥8}；
（2）a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，∴ab≥2（當且僅當a=b時取等號），
∵對于?a，b∈R^*，?x₀使f（x₀）≤ab成立，
∴|2+m|≤2，
∴-4≤m≤0．

點評 本題考查不等式的解法，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．