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已知數列 $數學公式$ ．
（I）求證：數列 $數學公式$ 是等比數列；
（II）若 $數學公式$ ，且數列{b_n}是單調遞增數列，求實數λ的取值范圍．

（I）證明：∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∵a₁=1，∴ $\text{[math]}$
∴數列 $\text{[math]}$ 是等比數列；
（II）解：由（I）知 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，b₁=-λ適合
∵數列{b_n}是單調遞增數列，
∴b_n+1＞b_n得2ⁿ（n-λ）＞2^n-1（n-1-λ），∴λ＜n+1，
∴λ＜2．
分析：（I）根據 $\text{[math]}$ ，化簡可得 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，從而可得數列 $\text{[math]}$ 是等比數列；
（II）由（I）知 $\text{[math]}$ ，從而 $\text{[math]}$ ，由此可得數列{b_n}的通項，利用數列{b_n}是單調遞增數列，即可求得實數λ的取值范圍．
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查數列的單調性，綜合性強．

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