Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出對(duì)應(yīng)直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）當(dāng)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：代入橢圓方程化簡(jiǎn)，由判別式大于求得的范圍，若存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)，求出，即，得到，符合，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求得.

試題解析：(1)設(shè)，由條件知， ，得.

又，所以，

.

故的方程為.

(2)當(dāng)垂直于軸時(shí)不合題意，故設(shè)，.

將代入，得．

當(dāng)，即時(shí)，

，，

所以．

若存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)，則，

即，即，

所以，符合，所以存在，符合題意，

此時(shí)或.