Question

已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A、C，上頂點為B，O為原點，P為橢圓上任意一點，過F、B、C三點的圓的圓心坐標為（m，n）．
（1）當m+n≤0時，求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，橢圓的離心率最小時，若點D（b+1，0），(

PF

+

OD

)•

PO

的最小值為

7

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得B（0，b），C（a，0），F(xiàn)（-c，0）．設過F、B、C三點的圓的方程為x²+y²+ux+vy+s=0，把B，C，F(xiàn)三點坐標代入可得u=c-a，v=

ac-b2

b

，s=-ac．可得m=-

u

2

，n=-

v

2

，利用m+n≤0，即可得出；
（2）在（1）的條件下，橢圓的離心率最小時，e=

2

2

．可設橢圓的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²．設P（x，y），F(xiàn)（-b，0），則(

PF

+

OD

)•

PO

=x²-x+y²=

1

2

(x-1)2+b2-

1

2

≥b2-

1

2

．

解答： 解：（1）由題意可得B（0，b），C（a，0），F(xiàn)（-c，0）．
設過F、B、C三點的圓的方程為x²+y²+ux+vy+s=0，
可得

b2+vb+s=0 a2+ua+s=0 c2-uc+s=0

，解得u=c-a，v=

ac-b2

b

，s=-ac．
∴m=-

u

2

=

a-c

2

，n=-

v

2

=

b2-ac

2b

，
∵m+n≤0，∴

a-c

2

+

b2-ac

2b

≤0，化為a²≤2c²，
∴e≥

2

2

，
又e＜1．∴

2

2

≤e＜1，
∴橢圓的離心率的取值范圍是[

2

2

，1)．
（2）在（1）的條件下，橢圓的離心率最小時，e=

2

2

．
可設橢圓的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²（b=c）．
設P（x，y），F(xiàn)（-b，0），
則(

PF

+

OD

)•

PO

=x²-x+y²=x2-x+b2-

1

2

x2=

1

2

(x-1)2+b2-

1

2

≥b2-

1

2

．
∴b2-

1

2

=

7

2

，解得b²=4，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、三角形的外接圓的方程、向量的坐標運算及其數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力．