Question

設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C．求：

（Ⅰ）求實數(shù)b 的取值范圍；

（Ⅱ）求圓C 的方程；

（Ⅲ）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【解析】本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；

令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為

令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝．

令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝―b―1．

所以圓C 的方程為.

（Ⅲ）圓C 必過定點，證明如下：

假設(shè)圓C過定點 ，將該點的坐標(biāo)代入圓C的方程，

并變形為         （*）

為使（*）式對所有滿足的都成立，必須有，結(jié)合（*）式得

，解得

經(jīng)檢驗知，點均在圓C上，因此圓C 過定點。