Question

設(shè)集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x²-（2m+1）x+2m＜0}．
（1）當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，化簡(jiǎn)集合B；
（2）若A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若∁_RA∩B中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：集合

分析：因式分解x²-（2m+1）x+2m＜0．
（1）直接由m＜

1

2

化簡(jiǎn)集合B；
（2）由A∪B=A得B⊆A，然后分m＜

1

2

，m=

1

2

時(shí)，m＞

1

2

時(shí)三種情況討論求解實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）把∁_RA∩B中只有一個(gè)整數(shù)，分m＜

1

2

，m=

1

2

時(shí)，m＞

1

2

時(shí)三種情況借助于兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：由不等式x²-（2m+1）x+2m＜0，得（x-1）（x-2m）＜0．
（1）當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，2m＜1，
∴集合B={x|2m＜x＜1}；
（2）若A∪B=A，則B⊆A，
∵A={x|-1≤x≤2}，
①當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，B={x|2m＜x＜1}，此時(shí)-1≤2m＜1⇒
-

1

2

≤m＜

1

2

；
②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，B=∅，有B⊆A成立；
③當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，B={x|1＜x＜2m}，此時(shí)1＜2m≤2，得

1

2

＜m≤1；
綜上所述，所求m的取值范圍是-

1

2

≤m≤1．
（3）∵A={x|-1≤x≤2}，
∴∁_RA={x|x＜-1或x＞2}，
①當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，B={x|2m＜x＜1}，
若∁_RA∩B中只有一個(gè)整數(shù)，則-3≤2m＜-2，得-

3

2

≤m＜-1；
②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，不符合題意；
③當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，B={x|1＜x＜2m}，若∁_RA∩B中只有一個(gè)整數(shù)，
則3＜2m≤4，∴

3

2

＜m≤2．
綜上知，m的取值范圍是-

3

2

≤m＜-1或

3

2

＜m≤2．

點(diǎn)評(píng)：在集合運(yùn)算中，不等式的解集、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域問(wèn)題，能解的先解出具體的實(shí)數(shù)范圍，再結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算，若端點(diǎn)位置不定時(shí)，要注意對(duì)端點(diǎn)的位置進(jìn)行討論求解，此題是中檔題．