Question

19．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，BC邊上的高為$\frac{a}{2}$，則$\frac{c}$的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可求：（$\frac{c}$）²=（$\frac{a}$）²+1-$\frac{2acosC}$，進(jìn)而可求當(dāng)cosC=0時(shí)，$\frac{c}$取最大值，求得C為直角，利用勾股定理即可計(jì)算得解．

解答 解：由題意知c²=a²+b²-2abcosC，
兩邊同時(shí)除以b²，可得：（$\frac{c}$）²=（$\frac{a}$）²+1-$\frac{2acosC}$，
由于a，b，c都為正數(shù)，
可得：當(dāng)cosC=0時(shí)，$\frac{c}$取最大值．
由于C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{2}$，
即當(dāng)BC邊上的高與b重合時(shí)取得最大值，此時(shí)三角形為直角三角形，c²=a²+（$\frac{a}{2}$）²，
解得：$\frac{c}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了的考點(diǎn)有：余弦定理；函數(shù)的最值，考查了余弦定理及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬于中檔題．