已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.
（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

(1) ；（2）

解析試題分析：（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（�。┰O(shè)PQ的中點(diǎn)為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
再根據(jù)取等號的條件，可得T的坐標(biāo).
試題解答：（1），又.
（2）橢圓方程化為.
（�。┰O(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.
設(shè)PQ的中點(diǎn)為，則
又TF的方程為，則得，
所以，即OT過PQ的中點(diǎn)，即OT平分線段PQ.
（ⅱ），又，所以
.
當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)T的坐標(biāo)為.
【考點(diǎn)定位】1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、最值問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線方程為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn),，過分別作拋物線的切線，兩切線的交點(diǎn)為.
（1）求的值；
（2）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（3）求△面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程；
(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

無論為任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).
（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；
（2）若直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，并且滿足，求雙曲線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．
（1）若直線的斜率為，求的離心率；
（2）若直線在軸上的截距為，且，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程
（2）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

過拋物線C：上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形，點(diǎn)M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M在直線AB的上方，求面積的最大值.

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同步練習(xí)冊答案