Question

2．如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，過F₁的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于B、A兩點，若△ABF₂為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=$\sqrt{7}$a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|，
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°，
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，解之得c=$\sqrt{7}$a，
由此可得雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，題目考查經(jīng)過雙曲線左焦點的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點構(gòu)成等邊三角形，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．