【題目】

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),是等腰直角三角形.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;

3)過點(diǎn)分別作直線,交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為,,

,探究:直線是否過定點(diǎn),并說明理由.

【答案】123)直線過定點(diǎn)().

【解析】

試題(1)求橢圓方程一般利用待定系數(shù)法求解,由題意得,因此,從而2)求軌跡問題,一般根據(jù)題意選擇對(duì)應(yīng)方法,本題涉及相關(guān)點(diǎn),采取轉(zhuǎn)移法,即設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn),則,再代入,可得軌跡方程3)研究直線過定點(diǎn)問題,一般先利用坐標(biāo)表示直線方程,再利用方程恒成立問題求相應(yīng)定點(diǎn),解題關(guān)鍵為將直線方程表示為點(diǎn)斜式,即將y軸截距用斜率表示

試題解析:(1)由已知可得,所求橢圓方程為

2)設(shè)點(diǎn),的中點(diǎn)坐標(biāo)為,

,代入上式 得

3)若直線的斜率存在,設(shè)方程為,依題意

設(shè),,由

. 由已知,

所以,即

所以,整理得.故直線的方程為,即.所以直線過定點(diǎn)().

若直線的斜率不存在,設(shè)方程為,設(shè),由已知,得.此時(shí)方程為,顯然過點(diǎn)().

綜上,直線過定點(diǎn)().

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】數(shù)列滿足,且.

1)求、、;

2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

3)令,求數(shù)列的最大值與最小值.

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【題目】狄利克雷函數(shù)為F(x).有下列四個(gè)命題:①此函數(shù)為偶函數(shù),且有無數(shù)條對(duì)稱軸;②此函數(shù)的值域是;③此函數(shù)為周期函數(shù),但沒有最小正周期;④存在三點(diǎn),使得△ABC是等腰直角三角形,以上命題正確的是( 。

A.①②B.①③C.③④D.②④

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【題目】已知橢圓的離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.證明直線軸上的定點(diǎn).

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【題目】如圖所示,直四棱柱的側(cè)棱長為,底面是邊長的矩形,的中點(diǎn),

1)求證:平面,

2)求異面直線所成的角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示).

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【題目】已知函數(shù).

1)若曲線處的切線的斜率為2,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),

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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè)函數(shù)

1)求、的值及函數(shù)的解析式;

2)若不等式時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)如果關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱AB與底面垂直,燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直,路燈C采用錐形燈罩,射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示,路寬AD=24米,設(shè)

(1)求燈柱AB的高h(用表示);

(2)此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長度最。孔钚≈禐槎嗌?

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【題目】如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹,已知角A的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.

1)若圍墻AP,AQ總長度為200米,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大?

2)已知AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高1.5米,造價(jià)均為每平方米100.若圍圍墻用了20000元,問如何圍可使竹籬笆用料最省?

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