Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，AB₁與A₁B的交點(diǎn)為O．
（1）求證：CD∥平面A₁EB；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁EB．

Answer 1

證明：（1）設(shè)AB₁和A₁B的交點(diǎn)為O，連接EO，連接OD．
因?yàn)镺為AB₁的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中點(diǎn)，
則EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，即EC∥OD且EC=OD，
則四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，
則CD∥平面A₁BE．…（7分）
（2）因?yàn)槿�棱柱各�?cè)面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
所以BB₁⊥平面ABC．
因?yàn)镃D?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．…（14分）