Question

如圖，已知三棱錐A-BCD，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，且△BEC為正三角形．
（1）求證：CD⊥平面ABD；
（2）若CD=3，AC=10，求點C到平面DEF的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明CD垂直平面ABD內(nèi)的兩條相交直線AB、AD，利用直線與平面垂直的判定定理即可證明CD⊥平面ABD；
（2）結(jié)合CD=3，AC=10，利用等體積法，即可求點C到平面DEF的距離．

解答： （1）解：∵△BEC為正三角形，F(xiàn)為BC中點，
∴EF⊥BC，∵EF∥AB，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD                  …（3分）
∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD                                   …（6分）
（2）設(shè)點C到平面DEF的距離為h，
∵AC=10，BE=BC=5，∴AB=2EF=5

3

，
在Rt△BDC中，∵F為BC中點，∴DF=

1

2

BC=

5

2

，∴S△EFD=

1

2

DF•EF=

25 3

8

∴VC-EFD=

1

3

S△EFD•h=

25 3 h

24

                   …（8分）
∵CD=3，BC=5，BD=4，∴S△DFC=

1

2

S△DBC=3．
∴VE-CFD=

1

3

S△CFD•EF=

5 3

2

                     …（10分）
V_C-EFD=V_E-CFD∴h=

12

5

∴點C到平面DEF的距離為

12

5

．…（12分）

點評：本題考查點到平面的距離的求法，等體積法的應(yīng)用，考查平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．