Question

A，B，C是△ABC的內(nèi)角，向量

m

=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

）滿足|

m

+

n

|=

3

（1）求角A的大小
（2）若sinB+sinC=

3

sinA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合兩角和差的余弦公式即可求角A的大小
（2）根據(jù)正弦定理將條件sinB+sinC=

3

sinA進行化簡，結(jié)合余弦定理，求出B，C的大小即可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

）滿足|

m

+

n

|=

3

∴|

m

+

n

|²=3，
即

m

²+2

m

•

n

+

n

²=9
即2+2[cos

3A

2

cos

A

2

+sin

3A

2

sin

A

2

]=3，
即2cosA=1，
則cosA=

1

2

，
即A=

π

3

．
（2）若sinB+sinC=

3

sinA，
則由正弦定理得b+c=

3

a，
∵A=

π

3

．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

1

2

，
即

3a2-2bc-a2

2bc

=

2a2-2bc

2bc

=

1

2

，
即2a²=3bc，
即2sin²A=3sinBsinC，
即sinBsinC=

1

2

，
又sinB+sinC=

3

sinA=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴sinB=

1

2

，sinC=1或sinC=

1

2

，sinB=1，
即B=

π

6

，C=

π

2

或C=

π

6

，B=

π

2

，
即△ABC是直角三角形．

點評：本題主要考查三角形形狀的判斷，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及兩角和差的余弦公式將方程進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．