Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）為奇函數(shù)，解不等式：f^-1（x）＜

1

2

．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷,反函數(shù)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出定義域，再由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）+f（x）=0，可得a=-1，再由反函數(shù)的求法，求得f^-1（x）=

2x-1

2x+1

，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可解出不等式．

解答： 解：由1-x＞0，且1+x＞0，
可得-1＜x＜1，
即定義域為（-1，1），
由f（x）為奇函數(shù)，
則f（-x）+f（x）=0，
即log₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
即log₂（1-x²）+alog₂（1-x²）=0，
即有a=-1，
則f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=log₂

1+x

1-x

由

1+x

1-x

=2^y，解得x=

2y-1

2y+1

，
則有f^-1（x）=

2x-1

2x+1

，
則f^-1（x）＜

1

2

即為

2x-1

2x+1

＜

1

2

，
即1-

2

2x+1

＜

1

2

，即2^x＜3，
解得x＜log₂3．
則解集為（-∞，log₂3）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的運用，考查反函數(shù)的求法及指數(shù)不等式的解法，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用，考查運算能力，屬于中檔題．