Question

3．如果橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的一條弦被點(diǎn)（4，2）平分，則該弦所在的直線方程是（　�。�

• A． x-2y=0
• B． 2x-3y-2=0
• C． x+2y-8=0
• D． x-2y-8=0

Answer 1

分析 設(shè)過A點(diǎn)的直線與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，得到兩個(gè)關(guān)系式，分別記作①和②，①-②后化簡得到一個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)A為弦EF的中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)求出E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和，表示出直線EF方程的斜率，把化簡得到的關(guān)系式變形，將E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和代入即可求出斜率的值，然后由點(diǎn)A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線EF的方程即可．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{36}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1②，
①-②式可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，
又點(diǎn)A為弦EF的中點(diǎn)，且A（4，2），∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
∴$\frac{8}{36}$（x₁-x₂）-$\frac{4}{9}$（y₁-y₂）=0
即得k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∴過點(diǎn)A且被該點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），即x+2y-8=0．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問題的求解策略，關(guān)鍵在于對“設(shè)而不求法”的掌握．