【題目】設(shè)點為圓上的動點,點在軸上的投影為,動點滿足,動點的軌跡為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設(shè)的左頂點為,若直線與曲線交于兩點,(,不是左右頂點),且滿足,求證:直線恒過定點,并求出該定點的坐標.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),由已知條件建立二者之間的關(guān)系,利用坐標轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程;
(2)由向量條件結(jié)合矩形對角線相等可得DA,DB垂直,斜率之積為﹣1,再聯(lián)立直線與橢圓方程,得根與系數(shù)關(guān)系,逐步求解得證.
(Ⅰ)設(shè)點,,由題意可知
∵,∴,
即,
又點在圓上 ∴
代入得
即軌跡的方程為
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,設(shè),
聯(lián)立 得
即,
∴
又
∵ ∴ 即
即
∴
∴
解得,,且均滿足即
當時,的方程為,直線恒過,與已知矛盾;
當,的方程為,直線恒過
所以,直線過定點,定點坐標為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某年級位同學(xué)參加語文和數(shù)學(xué)兩門課的考試,每門課的考分從0到100分. 假如考試的結(jié)果沒有兩位同學(xué)的成績是完全相同的(即至少有一門課的成績不同). 另外,“甲比乙好”是指同學(xué)甲的語文和數(shù)學(xué)的考分均分別高于同學(xué)乙的語文和數(shù)學(xué)的考分. 試問:當最小為何值時,必存在三位同學(xué)(設(shè)為甲、乙、丙),有甲比乙好,乙比丙好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過橢圓W:的左焦點作直線交橢圓于兩點,其中 ,另一條過的直線交橢圓于兩點(不與重合),且點不與點重合.過作軸的垂線分別交直線,于,.
(Ⅰ)求點坐標和直線的方程;
(Ⅱ)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某銷售公司擬招聘一名產(chǎn)品推銷員,有如下兩種工資方案:
方案一:每月底薪2000元,每銷售一件產(chǎn)品提成15元;
方案二:每月底薪3500元,月銷售量不超過300件,沒有提成,超過300件的部分每件提成30元.
(1)分別寫出兩種方案中推銷員的月工資(單位:元)與月銷售產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)從該銷售公司隨機選取一名推銷員,對他(或她)過去兩年的銷售情況進行統(tǒng)計,得到如下統(tǒng)計表:
月銷售產(chǎn)品件數(shù) | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
次數(shù) | 2 | 4 | 9 | 5 | 4 |
把頻率視為概率,分別求兩種方案推銷員的月工資超過11090元的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x2+ax,g(x)=ex﹣e,其中a>0.
(1)若a=1,證明:f(x)≤0;
(2)用max{m,n}表示m和n中的較大值,設(shè)函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)},討論函數(shù)h(x)在(0,+∞)上的零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列結(jié)論中正確的是( )
A.函數(shù)在時,取得極小值
B.對于,恒成立
C.若,則
D.若,對于恒成立,則的最大值為,的最小值為1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知直線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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【題目】已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),則下面結(jié)論正確的是( )
A. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2
B. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2
C. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2
D. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點在軸上,且橢圓的焦距為2.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于兩點,過作軸且與橢圓交于另一點, 為橢圓的右焦點,求證:三點在同一條直線上.
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