【題目】對于集合A={x|x=m2﹣n2 , m∈Z,n∈Z},因?yàn)?6=52﹣32 , 所以16∈A,研究下列問題:
(1)1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)中,哪些屬于A,哪些不屬于A,為什么?
(2)討論集合B={2,4,6,8,…,2n,…}中有哪些元素屬于A,試給出一個(gè)普通的結(jié)論,不必證明.
【答案】
(1)∵1=12﹣02;3=22﹣12;5=32﹣22;4=22﹣02;
∴1,3,4,5∈A,且2,6A;
設(shè)2∈A,得存在m,n∈Z,使2=m2﹣n2成立.(m﹣n)(m+n)=2
當(dāng)m,n同奇或同偶時(shí),m﹣n,m+n均為偶數(shù)
∴(m﹣n)(m+n)為4的倍數(shù),與2不是4倍數(shù)矛盾.
當(dāng)m,n同分別為奇,偶數(shù)時(shí),m﹣n,m+n均為奇數(shù)
(m﹣n)(m+n)為奇數(shù),與2是偶數(shù)矛盾.∴2A同理6A
(2)4=22﹣02;8=32﹣12;12=42﹣22;2,6,10,14,A,結(jié)論:是4的倍數(shù)的數(shù)屬于A.
【解析】(1)根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)證明1,3,4,5∈A,對于2和6用反證法進(jìn)行證明,證明過程注意根據(jù)整數(shù)是奇(偶)進(jìn)行分類說明;(2)根據(jù)集合A的元素的性質(zhì),在偶數(shù)中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素,由這些數(shù)的特征進(jìn)行歸納得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用元素與集合關(guān)系的判斷對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知對象與集合的關(guān)系是,或者,兩者必居其一.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=ax3﹣x2+cx(a≠0)的圖象如圖所示,它與x軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)O(0,0)與A(xA , 0)(xA>0);
(1)用反證法證明常數(shù)c≠0;
(2)如果 ,求函數(shù)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后,得到曲線,在以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最大,并求出此最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的個(gè)人單打資格選拔賽,本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.若一個(gè)運(yùn)動(dòng)員出線記分,未出線記分.假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為,他們出線與未出線是相互獨(dú)立的.
(1)求在這次選拔賽中,這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率;
(2)記在這次選拔賽中,甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員所得分之和為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex﹣ (e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時(shí),證明:f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱中,底面和側(cè)面都是矩形,是的中點(diǎn),,.
(1)求證:底面;
(2)若直線與平面所成的角為,求四棱錐體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣ x2+(a﹣1)x+lnx.
(1)若a>﹣1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若g(x)= x2+(1﹣2a)x+f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在對學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)中,將其測評(píng)結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個(gè)等級(jí),其中不小于80分為“優(yōu)秀”,小于60分為“不合格”,其它為“合格”.
(1)某校高二年級(jí)有男生500人,女生400人,為了解性別對該綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響,采用分層抽樣的方法從高二學(xué)生中抽取了90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果,其各個(gè)等級(jí)的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如表:
等級(jí) | 優(yōu)秀 | 合格 | 不合格 |
男生(人) | 30 | x | 8 |
女生(人) | 30 | 6 | y |
根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)測評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計(jì) |
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)以(1)中抽取的90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)等級(jí)的頻率作為全市各個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)發(fā)生的概率,且每名學(xué)生是否“優(yōu)秀”相互獨(dú)立,現(xiàn)從該市高二學(xué)生中隨機(jī)抽取4人.
(i)求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)為“優(yōu)秀”的概率;
(ii)記X表示這4人中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)等級(jí)為“優(yōu)秀”的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.
附:參考數(shù)據(jù)與公式
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象與的圖象無公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出整數(shù)的最大值;若不存在,請說理由.
(參考數(shù)據(jù):,,).
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