Question

設(shè)曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長度后，得到曲線C₁.

（1）寫出曲線C₁的方程；

（2）證明：曲線C與C₁關(guān)于點A（，）對稱.

Answer 1

⑴；⑵證明見解析.

解析:

（1）C₁：……………………………………①

（2）分析：要證明曲線C₁與C關(guān)于點A（，）對稱，只需證明曲線C₁上任意一個點關(guān)于A點的對稱點都在曲線C上，反過來，曲線C上任意一個點關(guān)于A點的對稱點都在曲線C₁上即可.

證明：設(shè)P₁（x₁，y₁）為曲線C₁上任意一點，它關(guān)于點A（，）的對稱點為

P（t－x₁，s－y₁），把P點坐標(biāo)代入曲線C的方程，左=s－y₁，右=（t－x₁）³－（t－x₁）.

由于P₁在曲線C₁上，∴y₁－s=（x₁－t）³－（x₁－t）.

∴s－y₁=（t－x₁）³－（t－x₁），即點P（t－x₁，s－y₁）在曲線C上.

同理可證曲線C上任意一點關(guān)于點A的對稱點都在曲線C₁上.

從而證得曲線C與C₁關(guān)于點A（，）對稱.