Question

5．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，若a_n=a，a_n=b（n-m≥1，m，n∈N^*），則a_m+n=$\frac{nb-ma}{n-m}$．
（1）類比上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），若b_m=c，b_n=d（n-m≥2，m，n∈N^*），猜想數(shù)列{b_m+n}的通項公式；
（2）證明（1）中的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由已知條件類比推導理能猜想數(shù)列{b_m+n}的通項公式．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則：$\left\{\begin{array}{l}{_{m}=_{1}•{q}^{m-1}=c}\\{_{n}=_{1}•{q}^{n-1}=d}\end{array}\right.$，由此求出首項和公比，從而能證明數(shù)列{b_m+n}的通項公式．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
若a_n=a，a_n=b（n-m≥1，m，n∈N^*），則a_m+n=$\frac{nb-ma}{n-m}$．
∴類比上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），
若b_m=c，b_n=d（n-m≥2，m，n∈N^*），則猜想：b_m+n=$\root{（n-m）}{\frac{iumyku8^{n}}{{c}^{m}}}$．…（3分）
證明：（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則：$\left\{\begin{array}{l}{_{m}=_{1}•{q}^{m-1}=c}\\{_{n}=_{1}•{q}^{n-1}=d}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{q=\root{（m-n）}{\frac{c}44coguc}}\\{_{1}=\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}}{gscowm0^{m-1}}}}\end{array}\right.$，…（7分）
∴b_m+n=$_{1}•{q}^{m+n-1}$=$\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}}{kuescq8^{m-1}}}$•[$\root{（n-m）}{\frac{c}iqaqcka}$]^m+n-1
=$\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}}{io4wgu4^{m-1}}}$[$\root{（n-m）}{\fracaesc8eu{c}}$]^m+n-1
=$\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}•ygqc4gw^{m+n-1}}{4iymugu^{m-1}•{c}^{m+n-1}}}$
=$\root{（n-m）}{\frac{symakwi^{m}}{{c}^{n}}}$．…（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列通項公式的猜想與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．