Question

（12分）已知函數(shù)（）.
①當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
②設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點.證明：存在實數(shù)，使得按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求.

Answer 1

①.②存在實數(shù)滿足題意，且.

試題分析：（1）將a，b的值代入后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于該點的切線的斜率，可得答案．
（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0解出x的值，然后根據(jù)x₃是f（x）的一個零點可得到x₃=b，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到答案．
解：①當(dāng)時，，故，又，
所以點處的切線方程為：.
②證明：因為=，由于，故，
所以的兩個極值點為，不妨設(shè)，，
因為，且是的一個零點，故，
由于，故，故，又，
故=，此時依次成等差數(shù)列，
所以存在實數(shù)滿足題意，且.
點評：對于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用問題，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考試的必考的一個知識點，要引起重視，同時對于極值點的導(dǎo)數(shù)為零是該點為極值點的必要不充分條件。