Question

已知點(diǎn)集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，點(diǎn)列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列{a_n}的公差為1，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=

5

n•|P1Pn|

，(n≥2)，求

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在k∈N^*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，做出向量的數(shù)量積，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到數(shù)列的首項(xiàng)，根據(jù)公差做出通項(xiàng)，根據(jù)點(diǎn)列P_n（a_n，b_n）在L中，得到b_n=2a_n+1=2n-1
（2）根據(jù)所給的點(diǎn)P_n（a_n，b_n）的坐標(biāo)為（n-1，2n-1），表示出數(shù)列的通項(xiàng)，并且整理變化利用裂項(xiàng)法做出數(shù)列的請(qǐng)n項(xiàng)和，求出和的極限．
（3）需要針對(duì)于k的奇偶性進(jìn)行討論，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，k+11為奇數(shù)，代入適合的分段函數(shù)得k=4； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+11為偶數(shù)，代入符合的分段函數(shù)得到方程無解．

解答：解：（1）y=

m

•

n

=(2x-b，1)•(1，b+1)=2x+1
∴L={（x，y）|y=2x+1}，則P₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）
∴a₁=0
又∵等差數(shù)列{a_n}的公差為1，
∴a_n=n-1，（2分）
∴點(diǎn)列P_n（a_n，b_n）在L中，
∴b_n=2a_n+1=2n-1（4分）
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，點(diǎn)P_n（a_n，b_n）的坐標(biāo)為（n-1，2n-1），
∴

P1Pn

=(n-1，2n-2)
|

P1Pn

|=

5

(n-1)     cn=

5

n•| P1Pn |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，（6分）
所以

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)=

lim

n→∞

(1-

1

n

)=1（8分）
（3）假設(shè)存在滿足條件的k，則
1°當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，k+11為奇數(shù)，則f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，由f（k+10）=2f（k），得k=4； （10分）
2°當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+11為偶數(shù)，則f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，由f（k+11）=2f（k），方程無解．
綜上得到存在k=4符合題意．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，數(shù)列的極限，是一個(gè)綜合題目，本題解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，第三問容易忽略對(duì)于n的奇偶性不同，所得的結(jié)果不同．