分析 由${S_n}={({-1})^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$,當n=1時,可得a1=-a1-$\frac{1}{2}$,可得a1=-$\frac{1}{4}$.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-1)nan-$\frac{1}{{2}^{n}}$-(-1)n-1an-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,a3=-a3-$\frac{1}{8}$+a2+$\frac{1}{4}$.若n為偶數(shù),則an-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$,因此n為正奇數(shù),an=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,可得a3=-$\frac{1}{16}$,a2.n=2k-1(k∈N*),Sn=S2k-1=-an-$\frac{1}{{2}^{n}}$.可得S1+S3+S5+…+S2017=-(a1+a3+…+a2017)-$(\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}})$,代入利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 解:由${S_n}={({-1})^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$,當n=1時,可得a1=-a1-$\frac{1}{2}$,可得a1=-$\frac{1}{4}$.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-1)nan-$\frac{1}{{2}^{n}}$-(-1)n-1an-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,a3=-a3-$\frac{1}{8}$+a2+$\frac{1}{4}$.
若n為偶數(shù),則an-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$,因此n為正奇數(shù),an=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,可得a3=-$\frac{1}{16}$,a2=$\frac{1}{4}$.
n=2k-1(k∈N*),Sn=S2k-1=-an-$\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴S1+S3+S5+…+S2017=-(a1+a3+…+a2017)-$(\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}})$
=$(\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{2018}})$-$(\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}})$
=$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{1009}})}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{4}^{1009}})}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{1}{3}(\frac{1}{{2}^{2018}}-1)$.
故答案為:$\frac{1}{4},\frac{1}{3}({\frac{1}{{{2^{2018}}}}-1})$.
點評 本題考查了等比數(shù)列通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | i>3? | B. | i<4? | C. | i>4? | D. | i<5? |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2x+y-2=0 | B. | 2x-y-2=0 | C. | x+y-2=0 | D. | y=0 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{1}{7}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{8}{15}$ |
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