【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，現(xiàn)沿對(duì)角線把翻折到的位置得到四面體，如圖所示.已知.

（1）求證：平面平面；

（2）若是線段上的點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出、，利用線面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；

（2）推導(dǎo)出、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）在三棱錐中，取的中點(diǎn)，連接、，得到，

四邊形是菱形，，，

又，，，，

又，，，

又，，、平面，平面，

又平面，平面平面；

（2），為中點(diǎn)，，、、兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，

，，

設(shè)平面的法向量，

由，即，解得，取，則，

易知平面的一個(gè)法向量為，

.

由圖可知二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)常數(shù)，函數(shù).

（1）令時(shí)，求的最小值，并比較的最小值與零的大小；

（2）求證：在上是增函數(shù)；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，恒有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，G是線段AD延長(zhǎng)線一點(diǎn)，，平面ABCD，，，F是線段PG的中點(diǎn)；

求證：平面PAC；

若時(shí)，求平面PCF與平面PAG所成二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】1642年，帕斯卡發(fā)明了一種可以進(jìn)行十進(jìn)制加減法的機(jī)械計(jì)算機(jī)年，萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī)，但萊布尼茲認(rèn)為十進(jìn)制的運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來過于復(fù)雜，隨即提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念之后，人們對(duì)進(jìn)位制的效率問題進(jìn)行了深入的研究研究方法如下：對(duì)于正整數(shù)，，我們準(zhǔn)備張不同的卡片，其中寫有數(shù)字0，1，…，的卡片各有張如果用這些卡片表示位進(jìn)制數(shù)，通過不同的卡片組合，這些卡片可以表示個(gè)不同的整數(shù)例如，時(shí)，我們可以表示出共個(gè)不同的整數(shù)假設(shè)卡片的總數(shù)為一個(gè)定值，那么進(jìn)制的效率最高則意味著張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)最大根據(jù)上述研究方法，幾進(jìn)制的效率最高？　　

A. 二進(jìn)制 B. 三進(jìn)制 C. 十進(jìn)制 D. 十六進(jìn)制

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

C.若，則的值為

D.要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個(gè)單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】田忌賽馬是史記中記載的一個(gè)故事，說的是齊國(guó)將軍田忌經(jīng)常與齊國(guó)眾公子賽馬，孫臏發(fā)也們的馬腳力都差不多，都分為上、中、下三等于是孫臏給田忌將軍制定了一個(gè)必勝策略：比賽即將開始時(shí)，他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬，用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬，用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬，從而使田忌贏得公子們?cè)S多賭注假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某公子的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽獲勝的概率如表所示：

田忌的馬獲勝概率公子的馬

上等馬

中等馬

下等馬

上等馬

1

中等馬

下等馬

0

比賽規(guī)則規(guī)定：一次比由三場(chǎng)賽馬組成，每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬出騫，結(jié)果只有勝和負(fù)兩種，并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同，三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者．

如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

如果比賽約定，只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn)，每次比賽賭注1000金，即勝利者贏得對(duì)方1000金，每月比賽一次，求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù)．

求實(shí)數(shù)的值；

若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲乙兩人各有三張卡片，甲的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，乙的卡片分別標(biāo)有數(shù)字0、1、3.兩人各自隨機(jī)抽出一張，甲抽出的卡片上的數(shù)字記為，乙抽出的卡片上的數(shù)字記為，則與的積為奇數(shù)的概率為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形沿軸滾動(dòng)，點(diǎn)恰好經(jīng)過原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對(duì)函數(shù)有下列判斷：①函數(shù)是偶函數(shù)；②對(duì)任意的，都有；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)的值域是；⑤.其中判斷正確的序號(hào)是__________．

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