Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F(xiàn)為CD中點．
（1）求證：EF⊥平面BCD；
（2）求多面體ABCDE的體積；
（3）求平面ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）取BC中點G點，連接AG，F(xiàn)G，如圖1
因為AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG?面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中點，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因為F是CD的中點且BD=2，所以FG∥BD且FG=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD
（2）設(shè)AB中點為H，則由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=，如圖2
又BD∥AE，所以BD與AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C-ABDE的高．
故四棱錐C-ABDE的體積為V_C-ABDE=S_ABDE•CH=．…（8分）
（3）以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則C（），E（0，-，1），F(xiàn)（），∴，
設(shè)平面CEF的法向量為，由，，得
平面ABC的法向量為=（0，0，1）
∴cos==
∴平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值．
分析：（1）取BC中點G，連FG，AG．根據(jù)AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，從而BD⊥AG．進而可證AG⊥平面BCD．又可證四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（2）設(shè)AB中點為H，則根據(jù)AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C-ABDE的高．從而可求四棱錐C-ABDE的體積．
（3）利用坐標(biāo)表示點與向量，確定設(shè)平面CEF的法向量，平面ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
點評：本題以多面體為載體，考查線面垂直，考查幾何體的體積，考查面面角，關(guān)鍵是利用向量的方法解決面面角，是一道綜合題．