Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上．
（Ⅰ）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（Ⅱ）若圓C上存在唯一一點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的一般方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）先求得圓心C（3，2），再根據(jù)半徑為1，可得圓的方程．用點(diǎn)斜式設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求得k的值，可得切線方程．
（Ⅱ）可設(shè)圓心C（a，2a-4），設(shè)點(diǎn)M（x，y），則由MA=2MO可得x²+（y+1）²=4，設(shè)此圓為圓D．由題意可得，圓C和圓D有唯一交點(diǎn)，故兩圓相內(nèi)切或相外切，由此解得a的值，可得C的坐標(biāo)，從而求得圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由

y=2x-4 y=x-1

，求得圓心C（3，2），再根據(jù)半徑為1，可得圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=1．
由于切線的斜率一定存在，可設(shè)切線方程為y-3=k（x-0），即 kx-y+3=0，
由圓心到切線的距離等于半徑可得

|3k-2+3|

k2+1

=1，求得k=0，或 k=-

3

4

，
故切線方程為y=3，或 3x+4y-12=0．
（Ⅱ）由于圓心在直線l：y=2x-4上，可設(shè)圓心C（a，2a-4），故原C的方程為（x-a）²+（y-2a+4）²=1．
設(shè)點(diǎn)M（x，y），則由MA=2MO可得

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化簡(jiǎn)可得 x²+（y+1）²=4，設(shè)此圓為圓D．
由題意可得，圓C和圓D有唯一交點(diǎn)，故兩圓相內(nèi)切或相外切，
即

a2+[(2a-4)-(-1)]2

=2-1，或

a2+[(2a-4)-(-1)]2

=2+1．
解得a=0，或a=

12

5

，故圓心為（0，-4）或（

12

5

，

4

5

），故圓C的方程為 x²+（y+4）²=1，或 (x-

12

5

)2+(y-

4

5

)2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求圓的切線方程，圓和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．