【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)有2個不同的零點,.
①求實數(shù)a的取值范圍;
②求證:.
【答案】(1)0;(2)①;②詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)切線方程可知,即可求解;
(2)①求函數(shù)導數(shù),分類討論,顯然時,恒成立,不符合題意,時,由導數(shù)可求函數(shù)最小值,函數(shù)有零點則最小值需小于0,得,易知在上有1個零點,利用導數(shù)證明函數(shù)在上有1個零點即可求的取值范圍;
②利用導數(shù)構造函數(shù)先證明當,,時,,結合①可得,取對數(shù)即可得出結論.
(1)因為,
所以切線的斜率為,解得,
所以實數(shù)的值為0.
(2)①由題意知函數(shù)的定義域為且.
當時,恒成立,
所以在上為增函數(shù),
故至多有1個零點,不合題意.
當時,令,則.
若,則,
所以在上為增函數(shù);
若,則,
所以在上為減函數(shù).
故的最小值為.
依題意知,解得.
一方面,,所以在上有1個零點.
另一方面,先證明.
令,則
當時,,故在上為增函數(shù);
當時,.故在上為減函數(shù).
所以的最大值為,故.
因為,所以.
而.
令,,則
當時,.故在上為增函數(shù),
所以
故
因此在上有1個零點,
綜上,實數(shù)的取值范圍是.
②先證明當,,時,
.(*)
不妨設,
(*)式等價,
等價于
在中,令,即證.
令
則,
所以在上為增函數(shù),故,
所以成立,
所以成立.
在中,令,即證.
令,則,
所以在上為減函數(shù),故,
所以成立,
所以成立.
綜上,(*)式成立.
由①得有2個零點,,
則,所以,
兩邊取“”得,
所以.
利用得:,
所以且.
又因為
所以,
故.
因此.
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【題目】已知函數(shù)的最大值為.
(1)若關于的方程的兩個實數(shù)根為,求證:;
(2)當時,證明函數(shù)在函數(shù)的最小零點處取得極小值.
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【題目】某同學在微信上查詢到近十年全國高考報名人數(shù)、錄取人數(shù)和山東夏季高考報名人數(shù)的折線圖,其中年的錄取人數(shù)被遮擋了.他又查詢到近十年全國高考錄取率的散點圖,結合圖表中的信息判定下列說法正確的是( )
A.全國高考報名人數(shù)逐年增加
B.年全國高考錄取率最高
C.年高考錄取人數(shù)約萬
D.年山東高考報名人數(shù)在全國的占比最小
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【題目】已知數(shù)列的首項,前項和為,且滿足.
(1)若數(shù)列為遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))恰有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】斜率為的直線過拋物線的焦點,且與拋物線交于、兩點.
(1)設點在第一象限,過作拋物線的準線的垂線,為垂足,且,直線與直線關于直線對稱,求直線的方程;
(2)過且與垂直的直線與圓交于、兩點,若與面積之和為,求的值.
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【題目】已知橢圓的右焦點為F,直線l與C交于M,N兩點.
(1)若l過點F,點M,N到直線y=2的距離分別為d1,d2,且,求l的方程;
(2)若點M的坐標為(0,1),直線m過點M交C于另一點N′,當直線l與m的斜率之和為2時,證明:直線NN′過定點.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,如果方程有兩個不等實根,求實數(shù)t的取值范圍,并證明.
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