Question

1．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)F₂向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，取右焦點(diǎn)F（c，0），漸近線y=$\frac{a}$x．求出直線F₂P的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），由方程聯(lián)立求出P，Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$和$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，可得c²=3a²，利用雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：如圖所示，
取右焦點(diǎn)F₂（c，0），漸近線y=$\frac{a}$x．
∵QF₂⊥OP，
∴可得直線F₂P的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
令$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-a）}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（-$\frac{^{2}c}{{a}^{2}-{c}^{2}}$，$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$）
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\frac{^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$）．
又$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
c²=3a²，
∴該雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查了平面向量的應(yīng)用，是中檔題．