Question

如圖，四邊形與均為菱形，，且．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)．
因?yàn)?四邊形為菱形，所以，
且為中點(diǎn)．               ………………1分
又 ，所以． ………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211122316627.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以 平面． ………………4分   
（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211121583534.png" style="vertical-align:middle;" />與均為菱形，
所以//，//，
所以 平面//平面．                ………………7分                                        又平面，
所以// 平面．                   ……………8分                        
（Ⅲ）解：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211121614528.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，且，所以△為等邊三角形．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211121817292.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，所以，故平面．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．………………9分                                   
設(shè)．因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211121583534.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，，則，所以，
．
所以．          
所以，．              
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  取，得．………………12分           
易知平面的法向量為．     ………………13分               
由二面角是銳角，得 ．      
所以二面角的余弦值為．      ……………14分

略