Question

已知a∈（0，π），且sina+cosa=

1

2

，則cos2a的值為

 

．

Answer 1

分析：把已知的等式兩邊平方，利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可求出sin2α的值，然后在把已知的等式提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦的值，判斷得到α的范圍，進(jìn)而得到2α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系由sin2α的值和2α的范圍即可求出cos2a的值．

解答：解：把sina+cosa=

1

2

，兩邊平方得：1+2sinαcosα=

1

4

，
即1+sin2α=

1

4

，解得sin2α=-

3

4

，
又sina+cosa=

2

sin（α+

π

4

）=

1

2

，解得：sin（α+

π

4

）=

2

4

＜

1

2

，
得到：0＜α+

π

4

＜

π

6

（舍去）或

5π

6

＜α+

π

4

＜π，
解得：

7π

12

＜α＜

3π

4

，所以2α∈（

7π

6

，

3π

2

），
則cos2α=-

1-( - 3 4 )2

=-

7

4

．
故答案為：-

7

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．求出2α的范圍確定出cos2α的正負(fù)是解題的關(guān)鍵．