(1)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2
1
3
;
(2)a,b,c為互不相等的正數(shù),且abc=1,求證:
1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c
分析:(1)利用條件a+b+c=1,兩邊平方,利用基本不等式,即可證得結(jié)論.
(2)根據(jù)條件可化為
1
a
+
1
b
+
1
c
=bc+ac+ab=
bc+ac
2
+
ac+ab
2
+
ab+bc
2
或者
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab
,應(yīng)用基本不等式即可證得結(jié)論.
解答:證明 (1)∵a+b+c=1,∴(a+b+c)2=1,
由a2+b2≥2ab得
a2+b2+c2=
1
3
(a2+b2+b2+c2+c2+a2+a2+b2+c2
1
3
(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)
=
1
3
(a+b+c)2=
1
3

(2)法一 由左式推證右式
∵abc=1,且a,b,c為互不相等的正數(shù),
1
a
+
1
b
+
1
c
=bc+ac+ab=
bc+ac
2
+
ac+ab
2
+
ab+bc
2

bc•ac
+
ac•ab
+
ab•bc
(基本不等式)
=
c
+
a
+
b

1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c

法二 由右式推證左式
∵a,b,c為互不相等的正數(shù),且abc=1,
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab

1
b
+
1
c
2
+
1
a
+
1
c
2
+
1
a
+
1
b
2
(基本不等式)=
1
a
+
1
b
+
1
c
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的證明,考查基本不等式的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知a,b,c為實(shí)數(shù),證明a,b,c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0
;
(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ都是實(shí)數(shù),證明α,β,γ是一個(gè)三角形的三邊的充要條件是
p<0,q>0,r<0
p3>4pq-8r

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:
b2-ac
a
3
;
(2)若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
a
24
對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時(shí)的不等式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知a,b,c均為實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2

(2)若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+
1
3
,b=y2-2z+3,c=z2-2x+
1
6
.求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca;
(2)設(shè)a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8

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