Question

定義在R上的函數(shù)及二次函數(shù)滿足：且。
（1）求和的解析式；
（2）；
（3）設(shè)，討論方程的解的個(gè)數(shù)情況．

Answer 1

（1），（2），（3）當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解.

試題分析：（1）求函數(shù)解析式有不同的方法.滿足可利用方程組求解，由解得: ，而為二次函數(shù)，其解析式應(yīng)用待定系數(shù)法求解可設(shè)，再根據(jù)三個(gè)條件且，列三個(gè)方程組解得，（2）不等式恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，本題轉(zhuǎn)化為左邊最小值不小于右邊最大值，右邊函數(shù)無(wú)參數(shù)，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最大值，這樣就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒不小于零的問(wèn)題，利用實(shí)根分布可得到充要條件所以（3）研究解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需先研究函數(shù)圖像，解方程，實(shí)際有兩層，由解得；再由得兩個(gè)解，由得三個(gè)解，結(jié)合這些解的大小，可得到原方程解得情況.
試題解析：(1) ,①
即②
由①②聯(lián)立解得: .               2分
是二次函數(shù), 且,可設(shè),
由,解得.
.            4分
(2)設(shè),
,
依題意知:當(dāng)時(shí),
,在上單調(diào)遞減,
                6分
在上單調(diào)遞增,
解得:
實(shí)數(shù)的取值范圍為.      9分
(3)設(shè),由(2)知,
的圖象如圖所示:

設(shè),則
當(dāng),即時(shí), ,有兩個(gè)解, 有個(gè)解;
當(dāng),即時(shí), 且,
有個(gè)解;                      2分
當(dāng),即時(shí), ,有個(gè)解;
當(dāng),即時(shí), ,有個(gè)解.  13分
綜上所述:
當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程有個(gè)解.              14分