Question

已知的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為2．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
根據題意的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為2．
∴f′（1）=a-b=2
∴b=a-2
（2）由（1）知，，
令
則g（1）=0，
①當0＜a＜1時，，
若，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1時，，當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）．
分析：（1）先求導函數，根據的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為2，可得a，b滿足的關系式；
（2）令，求導函數，確定函數的單調性，進而可求a的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，同時考查分類討論的數學思想．