Question

4．對于函數(shù)f（x）=x圖象上的任一點M，在函數(shù)g（x）=lnx上都存在點N（x₀，y₀），使$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0（O$是坐標(biāo)原點），則x₀必然在下面哪個區(qū)間內(nèi)？（　�。�

• A． $（\frac{1}{e^3}，\frac{1}{e^2}）$
• B． $（\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}）$
• C． $（\frac{1}{e}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$
• D． $（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，1）$

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為x₀是函數(shù)h（x）=x+lnx的零點，根據(jù)函數(shù)的零點的判斷定理求出x₀的范圍即可．

解答 解：由題意得：$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，
即lnx₀+x₀=0，
即x₀是函數(shù)h（x）=x+lnx的零點，
由h（x）在（0，+∞）是連續(xù)的遞增函數(shù)，
且h（$\frac{1}{e}$）=-1+$\frac{1}{e}$＜0，h（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{2-\sqrt{e}}{2\sqrt{e}}$＞0，
得h（x）在（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）有零點，
即x₀∈（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)零點的判斷定理，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．