Question

已知

a

=（cos

3θ

2

，sin

3θ

2

），

b

=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

），且θ∈[0，

π

3

]．
（1）若|

a

+

b

|=1，試求θ的值；
（2）求

a • b

| a + b |

的最值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求出

a

•

b

的值，再由 |

a

+ 

b

|2=1求出cosθ=

1

2

，再由θ的范圍求出θ的值．
（2）化簡

a • b

| a + b |

為cosθ-

1

2cosθ

，令 t=cosθ，則有

1

2

≤t≤1，利用導數(shù)判斷函數(shù) （t-

1

2t

） 在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，由此求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）由題意可得

a

•

b

=cos

3θ

2

cos

θ

2

+sin

3θ

2

（-sin

θ

2

）=cos（

3θ

2

+

θ

2

）=cos2θ，
∴|

a

+ 

b

|2=

a

2+

b

2 +

a

•

b

=2+2cos2θ=4cos²θ=1，∴cosθ=

1

2

．
再由θ∈[0，

π

3

]可得 θ=

π

3

．
（2）∵

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

，令 t=cosθ，則有

1

2

≤t≤1，∴（t-

1

2t

）′=1+

1

2t2

＞0，
∴（t-

1

2t

） 在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，故當t=

1

2

時，（t-

1

2t

） 取得最小值為-

1

2

，當t=1時，（t-

1

2t

） 取得最大值為

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．