已知函數(shù)f(x)=2sinωx•cosωx+2
3
cos2ωx-
3
-1（其中ω＞0），x1、x2是函數(shù)y=f（x）的兩個不同的零點，且|x1-x2|的最小值為
π
3
．
（1）求ω的值；
（2）若f(a)=
2
3
，求sin(
5π
6
-4a)的值．
分析：（1）利用兩角和與差的正弦可將f（x）化簡為f（x）=2sin（2ωx+
π
3
）-1，由f（x）=0可求得sin（2ωx+
π
3
）=
1
2
，依題意可求得|x1-x2|min=
π
3ω
=
π
3
，從而可求得ω的值；
（2）由f（α）=
2
3
，得sin（2α+
π
3
）=
5
6
，利用誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式可求得sin（
5π
6
-4α）的值．
解答：解：（1）f（x）=sin2ωx+
3
cos2ωx-1=2sin（2ωx+
π
3
）-1，
由f（x）=0得：2sin（2ωx+
π
3
）-1=0，
∴sin（2ωx+
π
3
）=
1
2
，
∵x1、x2是函數(shù)y=f（x）的兩個不同的零點，
∴2ωx1+
π
3
=
π
6
+2kπ或2ωx2+
π
3
=
5π
6
+2kπ（k∈Z），
∴2ω|x1-x2|=2kπ或2ω|x1-x2|=2kπ+
2π
3
，
∴|x1-x2|min=
π
3ω
=
π
3
，
∴ω=1．
（2）f（x）=2sin（2x+
π
3
）-1，
由f（a）=
2
3
，得2sin（2a+
π
3
）-1=
2
3
，
∴sin（2α+
π
3
）=
5
6
，
∴sin（
5π
6
-4α）
=-cos[
3π
2
-（
5π
6
-4α）]
=-cos2（2α+
π
3
）
=2sin2(2α+
π
3
)-1
=2×
25
36
-1
=
7
18
．
點評：本題考查兩角和與差的正弦，著重考查函數(shù)的零點的理解與應(yīng)用，突出考查三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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