把一枚骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.
(Ⅰ)記事件A為“方程組
ax+by=5
x2+y2=1
只有一組解”,求事件A的概率;
(Ⅱ)記事件B為“方程組
ax+by=5
x2+y2=1
有解”,求事件B的概率.
分析:(I)將方程組
ax+by=5
x2+y2=1
的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線ax+by=5與圓x2+y2=1的交點個數(shù).利用點到直線的距離公式得到方程只有一組解即
a=3
b=4
,或
a=4
b=3
,利用古典概型的概率公式求出概率.
(II)“方程組
ax+by=5
x2+y2=1
有解”即d=
5
a2+b2
≤1?a2+b2≥25
,列出包含的所有基本事件,利用古典概型的概率公式求出概率.
解答:解:(Ⅰ)依題意知,方程組
ax+by=5
x2+y2=1
的解的個數(shù),
就是直線ax+by=5與圓x2+y2=1的交點個數(shù).
設(shè)圓心O(0,0)到直線ax+by=5的距離是d,則d=
5
a2+b2
,
∵圓的半徑是1,
∴當(dāng)d=1,即a2+b2=25時,直線與圓相切,此時方程組只有一組解.
∵a,b∈{1,2,3,4,5,6},
a=3
b=4
,或
a=4
b=3
時,a2+b2=25,
而投擲兩次骰子,a,b所有的情況有36種,
所以方程組只有一組解的概率是P(A)=
2
36
=
1
18

(Ⅱ)要使方程組有解,由(Ⅰ)得,d=
5
a2+b2
≤1?a2+b2≥25
,
所以a,b有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6),(3,4),(4,3)共有23種情況.
P(B)=
23
36
點評:求一個事件的概率問題,應(yīng)該先判斷出事件的所屬的概率模型,然后選擇合適的概率公式進(jìn)行計算.
練習(xí)冊系列答案
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把一枚骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b.設(shè)事件A“方程組
ax+by=5
x2+y2=1
只有一組解”,則事件A發(fā)生的概率等于( 。
A、
1
3
B、
1
9
C、
1
18
D、
1
36

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

把一枚骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.
(1)記A為“方程組
ax+by=5
x2+y2=1
只有一組解”求A的概率;
(2)設(shè)f(x)=ax+
x
x-1
(x>1)
.求事件f(x)>b恒成立的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

把一枚骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b.設(shè)事件A“方程組只有一組解”,則事件A發(fā)生的概率等于( )
A.
B.
C.
D.

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把一枚骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b.設(shè)事件A“方程組只有一組解”,則事件A發(fā)生的概率等于( )
A.
B.
C.
D.

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