Question

16．已知直線l₁：mx-y=0，l₂：x+my-m-2=0．
（1）求證：對m∈R，l₁與l₂的交點P在一個定圓上；
（2）若l₁與定圓的另一個交點為P₁，l₂與定圓的另一個交點為P₂，求當m在實數(shù)范圍內(nèi)取值時，△PP₁P₂的面積的最大值及對應的m．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩條直線方程，消去m，即得到l₁和l₂的交點M的方程，判斷對m∈R，l₁與l₂的交點P在一個定圓上；
（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．當P點在定圓上移動時，△PP₁P₂的底邊P₁P₂為定值2r．當三角形的高最大時，△PP₁P₂的面積最大．

解答 解：（1）如圖所示：l₁：-y=0，過定點（0，0），${k_{l_1}}$=m；
l₂：x+my-m-2=0，m（y-1）+x-2=0，${k_{l_2}}$=-$\frac{1}{m}$
令y-1=0，x-2=0．得y=1，x=2，∴過定點（2，1），
∵${k_{l_1}}$•${k_{l_2}}$=-1，∴直線與直線互相垂直，
∴直線與直線的交點必在以（0，0），（2，1）為一條直徑端點的圓上，且圓心（1，$\frac{1}{2}$），半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2^2}+{1^2}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴圓的方程為（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．
即x²+y²-2x-y=0；
（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．當P點在定圓上移動時，△PP₁P₂的底邊P₁P₂為定值2r．當三角形的高最大時，△PP₁P₂的面積最大．
故三角形面積最大為$\frac{1}{2}$•2r•r=$\frac{5}{4}$
又與圓的交點為P（$\frac{m+2}{{{m^2}+1}}$，$\frac{m（m+2）}{{{m^2}+1}}$），且OP與P₁P₂的夾角是45°．
∴|OP|=$\sqrt{2}r$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，即${[{\frac{（m+2）}{{（{m^2}+1）}}}]^2}$+${[{\frac{m（m+2）}{{{m^2}+1}}}]^2}$=$\frac{5}{2}$，解得：m=3或m=$-\frac{1}{3}$
故當m=3或m=$-\frac{1}{3}$時，△PP₁P₂的面積取得最大值$\frac{5}{4}$．

點評 本題通過恒過定點問題來考查學生方程轉(zhuǎn)化的能力及直線系的理解，曲線軌跡方程的求法，三角形的面積的最值的判斷，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．