Question

設(shè)圓M：x²+y²=8，將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)壓縮到原來的

1

2

，得到曲線C．點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線C于A、B兩個不同點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在曲線C上任取一個動點(diǎn)P（x，y），根據(jù)圖象的變換可知點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．代入圓方程即可求得x和y的關(guān)系式，即曲線C的方程．
（2）根據(jù)題意可得直線l的方程，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立，消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)m≠0，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）在曲線C上任取一個動點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8，即曲線C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又k_OM=

1

2

，
∴直線l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0．
又∵直線l交曲線C于A、B兩個不同點(diǎn)，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，
又∵m≠0，
∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題的能力及數(shù)學(xué)化歸思想．